Procjena iracionalnih konstanti

Procjena baze prirodnog logaritma

Iracionalnih konstante procjenjujemo raznim iterativnim ili rekurzivnim postupcima. Prvo ćemo pogledati iterativan postupak za procjenu broja \(e\), a zatim ćeš ti probati procijeniti \(\sqrt{2}\).

Mi ćemo bazu prirodnog logaritma procijeniti redom:

\[ e = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!}. \]

Operaciju \(n!\), čitamo \(n\) faktorijela, označava umnožak prirodnih brojeva od \(1\) do \(n\). Programski kôd za procjenu broja \(e\) možeš vidjeti dolje. Malo se poigraj s kôdom i pogledaj kako se mijenja dobivena procjena s promjenom broja iteracija.

Iterativna procjena \(\sqrt{2}\)

Sada kada smo vidjeli kako procijeniti bazu prirodnog logaritma, u ovome zadataku ćemo pogledati kako procijeniti \(\sqrt{2}\).

Broj \(\sqrt{2}\) možemo procijeniti rekurzivnom relacijom

\[ a_{n + 1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n}. \]

Za početnu procjenu, \(a_0\), možeš uzeti bilo koji broj veći od \(0\).

Dovrši sljedeći kôd za procjenu \(\sqrt{2}\):


Primjeti kako smo u ovome zadataku procjenili samo \(\sqrt{2}\). Imaš li ideju kako bi izračunali korijen bilo kojeg prirodnog broja \(n\)?